Das Zwillings-Paradoxon

Könnten wir uns mit Raumschiffen der Lichtgeschwindigkeit nähern, hätte das erstaunliche Konsequenzen. Die Speziellen Relativitätstheorie erklärt, wie Raum und Zeit zusammenhängen – und warum nach einer Weltraumreise Zwillinge eventuell nicht mehr gleich alt sind.

Albert Einstein - seine "Spezielle Relativitätstheorie entwickelte er 1905, im Alter von erst 26 Jahren.
Quelle: [1]

Raum und Zeit scheinen recht unterschiedliche Dinge zu sein. Niemand kann rasch mal einen Kilometer in die Vergangenheit laufen, oder mit einem schnellen Auto rund um letzten Freitag herum schräg in die kommende Woche fahren. Nach Albert Einsteins Relativitätstheorie sind Raum und Zeit aber eng miteinander verbunden. Die Zeit gehört als vierte Dimension zu unseren drei Raumdimensionen dazu – gemeinsam bilden sie die vierdimensionale Raumzeit. Das hat ziemlich seltsame Konsequenzen, die sich auf den ersten Blick mit unseren Alltagsvorstellungen nicht so recht vertragen. Wenn zwei Beobachter sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, dann sind räumliche Abstände für sie unterschiedlich groß. Vom fahrenden Zug aus betrachtet hat der Bahnsteig streng genommen eine andere Länge als für den Beobachter, der am Bahnsteig steht. Auch für die Zeitdauer zwischen zwei Ereignissen messen die Beobachter unterschiedliche Werte – und beide haben recht. Länge oder Zeitdauer hängt vom Beobachter ab. Das kann zu kniffligen Gedankenspielereien führen, wie in der Geschichte von den beiden Zwillingen, die plötzlich unterschiedlich alt sind. Eigentlich sind einige dieser seltsamen Aussagen der Relativitätstheorie aber gar nicht so schwer zu verstehen.

Längen messen am Stadtplan

Der Abstand zwischen zwei Häusern: Berechnet durch Messung entlang der Straßen, durch Messungen entlang der Himmelsrichtungen, oder in direkter Linie gemessen: Die Distanz ist eindeutig und immer gleich.

Raum und Zeit hängen in der Relativitätstheorie so ähnlich zusammen, wie zwei Raumdimensionen in einer Ebene. Wie man Entfernungen auf einer ebenen Fläche am besten misst, können wir auf einem Stadtplan überprüfen: Manhattan in New York beispielsweise ist streng rechtwinkelig angelegt – mit den großen „Avenues“ und den „Streets“, die im rechten Winkel dazu verlaufen. Allerdings folgen sie nicht genau den Himmelsrichtungen, stattdessen sind sie an der Küstenlinie ausgerichtet. Nehmen wir nun an, wir wollen den Abstand zwischen zwei Häusern wissen. Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten, den Abstand anzugeben: Wir könnten zum Beispiel messen, wie weit man in Richtung der Avenues und wie weit man in Richtung der Streets gehen muss, um vom einen zum anderen Haus zu kommen. Nach dem Satz des Pythagoras können wir dann den Abstand ganz leicht ausrechnen: Distanz in Street-Richtung zum Quadrat plus Distanz in Avenue-Richtung zum Quadrat ist der Gesamtabstand zum Quadrat. Wir könnten aber auch ein anderes Koordinatensystem verwenden und die Distanz in Nord-Süd-Richtung und dann die Distanz in Ost-West-Richtung abmessen. Dabei werden natürlich ganz andere Zahlen herauskommen als vorher – aber der Gesamtabstand, berechnet nach Pythagoras, ist derselbe. Natürlich kommt man auch zum selben Ergebnis, wenn man einfach entlang der direkten Verbindungslinie zwischen den Häusern misst – dann muss man nur eine einzelne Zahl ablesen. Zwei Beobachter kommen immer auf unterschiedliche Zahlenwerte, wenn sie entlang unterschiedlicher Richtungsachsen messen, aber über den Abstand zwischen den beiden Häusern müssen sie sich am Ende einig sein.

Abstände in der Raumzeit

In der Relativitätstheorie ist das ähnlich – nur haben wir es dort nicht bloß mit Richtungen auf der Landkarte, sondern mit Raum und Zeit zu tun. Statt über den Abstand zweier Häuser können wir nun nach dem Abstand zwischen zwei Ereignissen fragen, die sich zu bestimmten Zeitpunkten an bestimmten Orten ereignen. Das erste Ereignis könnte zum Beispiel das Starten einer Rakete auf der Erde sein, das zweite Ereignis das Aufsetzen der Rakete auf einem fremden Planeten. Die verstrichene Zeit und den räumlichen Abstand zwischen diesen beiden Ereignissen können wir messen - aber wie gibt man den Raum-Zeit-Abstand zwischen den beiden Ereignissen an?

Das rechtwinkelige Dreieck: a+b²=c²

Um so etwas wie den Satz des Pythagoras verwenden und den Abstand ausrechnen zu können, müssen wir zunächst Raum und Zeit in derselben Einheit messen. Das erscheint uns seltsam, weil wir gewohnt sind, dass Zeit und Weg, Sekunden und Meter, sauber voneinander zu trennen sind. Allerdings gibt es einen natürlichen Umrechnungsfaktor zwischen räumlichen und zeitlichen Abständen: Die Lichtgeschwindigkeit. Ein Meter Zeit ist einfach die Zeitspanne, die das Licht braucht, um einen Meter zurückzulegen. (Eine Sekunde entspricht dann etwa 300 000 Kilometern). Im Grunde kann man also Raum und Zeit in derselben Einheit angeben – wir machen es nur nicht, weil dabei etwas unhandliche Zahlenwerte herauskommen. Es ist nun mal praktischer zu sagen: „Wir treffen uns in zwei Stunden“ als „Wir treffen uns in 2.1 Billionen Metern entlang der Zeitachse“ – auch wenn das physikalisch dasselbe ist. Genauso gut können wir mithilfe der Lichtgeschwindigkeit auch räumliche Entfernungen in Sekunden oder Jahren angeben: Ein Jahr auf der räumlichen Achse bezeichnet man dann als „Lichtjahr“ – das sind knapp 10 Billionen Kilometer. (Zwischen einem Jahr und einem Lichtjahr besteht nur der Unterschied, dass wir das eine auf der Zeitachse, das andere auf der Raumachse messen. Wir können aber beides gleichbedeutend verwenden. Schließlich geben wir einem Meter nach oben gemessen auch keinen anderen Namen als einem nach rechts gemessenen Meter.)

Wenn wir nun Raumabstände und Zeitabstände in der selben Einheit messen, kann man den Satz des Pythagoras für die vierdimensionale Raumzeit abwandeln. Er sieht dann nur ein kleines Bisschen anders aus, er bekommt nämlich ein Minuszeichen:

Zeitabstand zum Quadrat minus Raumabstand zum Quadrat ist Raumzeitabstand zum Quadrat

Reise durch die Zeit

Zwei Zwillingsschwestern: Eine ist Weltraumreisende, die andere bleibt auf der Erde.

Was das bedeutet, können wir uns an einem einfachen Rechenbeispiel überlegen: Stellen wir uns zwei Zwillingsschwestern vor – die eine ist Astronautin und begibt sich auf Weltraumreise, die andere bleibt auf der Erde. Die Astronautin besitzt ein ultraschnelles Raumschiff - mit 80% der Lichtgeschwindigkeit bewegt sie sich von der Erde weg. (Von solchen Raumfahrzeugen können wir heute nur träumen – nach nicht einmal zwei Sekunden würde man bei dieser Geschwindigkeit bereits am Mond vorbeiflitzen.) Die andere überwacht die Reise ihrer Schwester von der Erde aus: Sie sieht, wie die Astronautin fünf Jahre lang von der Erde wegreist – bei 80% der Lichtgeschwindigkeit ist sie dann also 4 Lichtjahre von der Erde entfernt – das ist ungefähr der Abstand zu den nächstgelegenen Sternen. Dort bremst die Astronautin ab und bleibt (bezogen auf die Erde) kurz stehen. Wir können nun den Raum-Zeit-Abstand zwischen den Ereignissen „Start“ und „Stehenbleiben“ ausrechnen: Der Zeitabstand ist fünf Jahre, der Raumabstand vier Jahre (bzw „Lichtjahre“). Für den Raum-Zeit-Abstand ergibt sich also:

5²-4²= 9 = Raum-Zeit-Abstand zum Quadrat
(Alle Abstände sind hier quadriert, haben also die Einheit Lichtjahre zum Quadrat) Wir müssen also nur die Wurzel ziehen – und bekommen einen Raum-Zeit-Abstand von drei Jahren (oder Lichtjahren - das ist ja hier dasselbe).

Bewegte Uhren gehen langsamer

Dieser Abstand von drei Jahren ist für alle Beobachter gleich. Wie sieht die Sache aber nun aus der Perspektive der Astronauten-Schwester aus? Von ihr aus betrachtet finden die beiden Ereignisse „Start“ und „Stehenbleiben“ am selben Ort statt – nämlich genau bei ihrer Rakete. Der Raumabstand ist für sie null. Also:

Zeitabstand zum Quadrat minus null gleich 9

Was eine Uhr anzeigt hängt auch von ihrer Bewegung ab.

- Für die Schwester in der Rakete ist also der Zeitabstand zwischen Start und Stehenbleiben nur drei Jahre! Während sie von der Erde aus betrachtet fünf Jahre lang unterwegs war, sind für sie nur drei Jahre vergangen – und zwar einfach aufgrund ihrer hohen Geschwindigkeit. In rasch bewegten Systemen vergeht die Zeit langsamer - die Uhren ticken langsamer, die Astronautin altert langsamer. Davon bemerkt man im Raumschiff natürlich nichts – solange man die Uhren nicht mit Uhren anderer Beobachter vergleicht. Diesen Zeitdehnungs-Effekt nennt man „Zeitdilatation“: Je schneller man sich bewegt, umso langsamer vergeht die Zeit. Die Geschwindigkeiten, mit denen wir normalerweise zu tun haben, sind natürlich viel zu gering, um diesen Effekt zu bemerken – allerdings ist es tatsächlich gelungen, diese Zeitdilatation mithilfe von hochpräzisen Atomuhren zu messen: Lässt man eine Atomuhr auf der Erde stehen, während man die andere in einem schnellen Flugzeug mitfliegen lässt, zeigen sie danach unterschiedliche Zeiten an. Weil aber selbst unsere schnellsten Flugzeuge (verglichen mit der Lichtgeschwindigkeit) äußerst langsam sind, ist aber selbst dann der Effekt winzig klein. [2]

Bewegte Abstände werden kürzer

Wenn die Astronautin nun aber – aus ihrer Sicht – drei statt fünf Jahre mit 80% der Lichtgeschwindigkeit unterwegs war, dann ist sie nicht vier Lichtjahre weit geflogen, sondern 3*0.8=2.4 Lichtjahre weit. Die Distanz ist für die bewegte Zwillingsschwester also geschrumpft. Für bewegte Beobachter erscheinen Abstände kürzer – dieses Phänomen heißt „Längenkontraktion“. Eigentlich ist das für Weltraumreisen ziemlich praktisch: Eine höhere Geschwindigkeit hilft auf doppelte Weise, rasch ans Ziel zu kommen: Einerseits bewegt man sich schneller fort, zusätzlich schrumpft die Strecke mit höherer Geschwindigkeit immer weiter zusammen. Das klingt ja alles schon recht seltsam und science-fiction-artig, doch die wahre Merkwürdigkeit kommt erst: Von der Astronautin aus betrachtet bewegt sich nämlich die Erde mit 80% der Lichtgeschwindigkeit vom Raumschiff weg, während das Raumschiff an einem festen Ort bleibt. Das bedeutet, dass vom Raumschiff aus betrachtet die Uhren auf der Erde langsamer gehen als die Uhren in der Rakete. Jede der beiden Schwestern ist also der Ansicht, für die andere Schwester vergehe die Zeit langsamer.

Das Relativitäts-Prinzip

Bewegt sich das Raumschiff von der Erde weg, oder die Erde vom Raumschiff? Das ist dasselbe, sagt Einstein (zumindest bei gleichförmiger, unbeschleunigter Bewegung).

Einstein war der Überzeugung, dass die Naturgesetze für jeden Beobachter gleich aussehen müssen. Wenn sich irgendwo im Weltraum zwei Beobachter bewegen – wie soll man dann entscheiden können, wer sich bewegt und wer stillsteht? Kein physikalisches Experiment kann uns Auskunft darüber geben, ob wir uns gerade bewegen oder nicht. Bewegung lässt sich immer nur in Bezug auf etwas anderes definieren, eine absolute Bewegung gibt es nicht. Diese Erkenntnis bezeichnet man als „Relativitäts-Prinzip“. Wenn am Fenster des Raumfahrzeugs ein Stern vorbeizieht, dann ist die Aussage „die Rakete fliegt am Stern vorbei“ genauso gut wie „der Stern fliegt an der Rakete vorbei“. Die beiden Fälle sind nicht unterscheidbar. Also müssen auch alle physikalischen Berechnungen aus einem Bezugssystem genauso gut auf das andere übertragbar sein. Das bedeutet also: Beide Zwillingsschwestern liegen richtig, wenn sie sagen, dass bei der anderen die Uhren langsamer ticken. Beide können behaupten, sie selbst befinden sich in Ruhe, während die andere sich mit 80% der Lichtgeschwindigkeit fortbewegt und deshalb eine verlangsamte Zeit erlebt. Und beide haben recht.

Das Zwillings-Paradoxon

Das führt nun aber genau zu der Frage, die als „Zwillingsparadoxon“ bezeichnet wird: Nehmen wir an, die Schwester in der Rakete kehrt nun um, und bewegt sich mit derselben Geschwindigkeit wieder zur Erde zurück. Auch auf der Rückreise werden beide Schwestern wieder der Meinung sein, die Zeit vergehe bei der anderen langsamer. Wenn sich nun beide wieder auf der Erde treffen – bei welcher der beiden Zwillingsschwestern ist dann nun tatsächlich mehr Zeit vergangen? Bei welcher hat sich der Uhrzeiger öfter im Kreis gedreht? Das Ergebnis: Auf der Erde sind am Ende zehn Jahre vergangen – fünf während des Fortfliegens, fünf während der Rückreise – während für die Schwester im Raumschiff insgesamt nur sechs Jahre vergangen sind. Weltraumreisen halten jung – die beiden Zwillingsschwestern sind nun tatsächlich unterschiedlich alt.

Aber wie verträgt sich das mit dem Relativitäts-Prinzip? Bewegung ist ja schließlich relativ – kann man also nicht genauso gut sagen, die Erde habe das Raumschiff verlassen, sei nach fünf Jahren umgekehrt und zum Raumschiff zurückgeflogen? Wie kann eine der beiden Schwestern nun älter sein, wenn unterschiedliche Beobachter in der Relativitätstheorie gleichberechtigt sind? So einfach ist es dann doch nicht – es gibt nämlich einen entscheidenden Unterschied zwischen den beiden Schwestern: Die Schwester im Raumschiff musste umkehren. Sie musste also irgendwann stark bremsen, wurde dabei kräftig in ihren Sitz gepresst, und beschleunigte dann Richtung Erde. Diesen Abbrems- und Beschleunigungsvorgang kann man fühlen und messen. Auf der Erde gab es so einen Vorgang nicht. Die Richtungsänderung macht also den Unterschied zwischen den beiden Schwestern aus. So lange sich zwei Beobachter mit konstanter Geschwindigkeit dahinbewegen, lässt sich nicht festlegen, wer in Ruhe ist und wer sich bewegt. Beide werden zu dem Schluss kommen, dass sich aus ihrer Sicht die andere Person bewegt und dass daher die Uhren im anderen Bezugssystem langsamer gehen. Durch Bremsen und Beschleunigen allerdings werden die beiden Bezugssysteme eindeutig unterscheidbar. Auch wenn die Zwillingsschwester im Raumschiff der Meinung ist, der Abbrems- und Beschleunigungsvorgang habe nur ganz kurz gedauert – aus der Sicht der anderen Schwester auf der Erde sind dabei Jahre vergangen. Genau dadurch lässt sich erklären, dass die Schwestern nach der Reise unterschiedlich alt sind. Das ist die Auflösung des scheinbaren Zwillings-Paradoxons.

Beschleunigung und Gravitation

Wer nach oben beschleunigt, wird an den Boden gedrückt - von Gravitation ist das nicht zu unterscheiden.

Hier kommt aber auch noch einmal Einsteins Relativitäts-Prinzip ins Spiel: Beim Abbremsen und Beschleunigen wird die Astronautin jeweils kräftig an die der Erde abgewandte Seite des Raumschiffs gepresst – so als ob dort ein großer Planet wäre, der sie durch seine Gravitation nach unten zieht. Beschleunigung und Gravitation fühlen sich gleich an. Wenn wir in einem abgeschlossenen Raum sitzen und spüren, dass wir auf den Boden gedrückt werden, können wir eigentlich nicht wissen, ob wir auf der Erde sitzen und die Gravitation uns nach unten zieht, oder ob wir auf den Boden gedrückt werden, weil wir im Weltraum in einer Rakete sitzen, die nach oben beschleunigt. Wenn diese beiden Situationen ununterscheidbar sind, müssen sie aber auch die selben Auswirkungen auf unsere Beobachtungen von Raum und Zeit haben. Wenn also ein Abbremsen und Beschleunigen die Zeit langsamer vergehen lässt, dann muss die Gravitation dasselbe tun – und so ist es auch. Uhren in einem Gravitationsfeld gehen langsamer als Uhren im freien Weltraum, weit weg von Sternen und Planeten. Das allerdings führt nun weg von der Speziellen Relativitätstheorie, hin zur noch einmal deutlich komplizierteren Allgemeinen Relativitätstheorie, in der Einstein die Phänomene rund um die Gravitation erklärt hat.

Alles ist relativ relativ

Einstein hat mit seinen Berechnungen jedenfalls radikal verändert, wie wir über Raum und Zeit nachdenken. Vor ihm sah man Raum und Zeit als simple, unveränderliche mathematische Maßstäbe. Man dachte, dass sich jedes Ereignis auf eindeutige Weise in Raum und Zeit einfügen lässt, dass man mit Lineal und Stoppuhr die Welt ganz einfach einteilen kann, so wie die Linien auf kariertem Papier das ganze Blatt in saubere Kästchen gliedern. Das stimmt aber nicht: Alle Beobachter haben ihre ganz persönlichen Raum-Zeit-Kästchen, und alle diese Bezugssysteme sind gleichberechtigt. Es gibt im Universum keinen allgemein gültigen Kalender und auch keine allgemein gültiges intergalaktisches Maßband. Alles was wir tun können, ist Zeitpunkte und Orte miteinander in Beziehung zu setzen, Zeitdauern und Abstände zu berechnen und mithilfe von Einsteins Formeln mit den Messergebnissen anderer Beobachter zu vergleichen. Es ist also alles relativ. Oder zumindest: Relativ vieles ist relativ relativ.